【数据科学之基础思维系列】第1讲：向量简介

接待返来。从本期起头，我们将开启「数据科学的根本思维」的系列篇章，以数学为根本，以利用为方针，简洁、清楚、系统地带你学会数学思维不成或缺的真理。

在起头之前，我们先讲个小故事。

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谷歌的研讨总监做了一个小尝试，把一组不异的数据分给「数据科学家、统计学家、数学家」三人去分析，总监是这样想的：即使分歧偏向的科学家能够采用分歧的方式，可是终极三人分析出的成果应当是一样的。可是，现真相况却截然不同
「数据科学家」把全数的数据都拿来分析，而且机关了一个很是复杂的数学模子。
「统计学家」只是用了其中1%的数据来分析这组数据的特征。
「数学家」则是做了一系列的推导和证实。
❞

可见，对于不异的数据，分歧范畴的研讨者都有自己独到的看法和方式。

那末怎样样的方式是最合适的呢？

❝ 这就需要「数学统计方式+利用理论」相辅相成啦。
❞

这也就是本系列课本的初衷。 好啦，接着，我们开启明天的第一讲，「线性代数之向量简介」。

壹 线性代数有何用

大数据时代，我们的原材料就是数据，为了从数据中提炼出常识甚至升级为聪明，最少得晓得数据的形式。

1.以笼统的视角看待天下

线性代数则赋予了我们一个这样看待数据的才能：「以笼统的视角看待天下」！

大师在利用C说话、Python、R说话等停止编程时，应当深有体味。凡是要对数据停止处置，根基上都要保存为「线性代数」中的向量、矩阵、数组等形式。

那末它究竟是怎样从笼统的视角来看待天下呢？

不过就是将我们天下万物转化成计较性可以处置的形式，如同毕达哥拉斯所言“万物皆数”。（插链接：数据科学之数学思维奇妙夜）

数字，包括由数字扩大而来的向量、矩阵和张量，都是计较性可以识别和处置的。天下万物，只要能转化成数的形式，都可以量化，都可以用「计较机运算」。

我们将其转化成数的形式，一切那些模糊、笼统的概念，都可以量化暗示。有了这个工具，处置数据的一些方式才有用武之地。

2.以活动的视角来观察天下

数字的天下是静止的，而向量的天下是活动的。

现实天下中，「很多不法则的活动很难用数字暗示」，比如运带动某一时辰的活动状态，用数字还委曲可以记录，可是假如是持续的活动状态，用一个数字就很难记录了，由于一个数字没有偏向，我们也称这类数字为标量。

此时，用向量记录就很方便，「由于向量自己既具有巨细，又具有偏向」。而且向量中的每个元素都可以继续扩大成向量，这时向量就酿成了「矩阵」。矩阵中的每个向量也继续扩大成向量，矩阵就酿成了「张量」。「向量、矩阵、张量」这些数据都是可以线性代数中研讨工具的根基形式，可以更好地描写复杂的活动。

用一个魔方，可以直观形象地描写「标量、向量、矩阵、张量」之间的关系。

举个例子，比如1，2，5这些「标量」，每一个数字就是一个元素，「将其排列为一组，就酿成了一个向量」。也就是说从一个标量到向量，就是从一个「静态」到一个「静态」的状态。

假如把向量看成静态的话，我们接着去扩大每一个向量中的元素，把之前每一个元素扩大为一个向量，比如 5 阿谁位置就用三个蓝色方块取代了，因而我们就获得一个 3\times 3 阶的矩阵，也就是「魔方最底下的那一层」。

接着，「矩阵」里的每个元素继续用一个向量去添补，我们就获得一个三维的张量，也就是图中这个魔方。

标量和向量，一个是静态的，一个是静态的。向量和矩阵之间是也是从静态到静态的变化，「矩阵到三维张量」，一样如此。

从静态到静态，每一次都是相对而言的。

罗马不是一日建成的，每一个元素就相当因而一块砖头，恰好就是我们需要的，将一块一块砖头垒起来......

贰 向量的概念

1.什么是向量？

「向量」：具有「巨细」和「偏向」的量，是一个矢量。

假如你尝试处理立体多少题目，可是设想力不敷，怎样办？向量就是一个好工具！

在平面坐标系中，A(x_1, y_1) 点到 B(x_2, y_2) 点的量就是一个向量。用 \overrightarrow{AB} 暗示，它既包括了从 A 到 B 的偏向，也包括了从 A 到 B 的巨细。

\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)，「向量具有偏向性」，所以从 A 指向 B 与从 B 指向 A 是分歧的，即

\overrightarrow{AB}\neq\overrightarrow{BA}=(x_1-x_2,y_1-y_2) \\

这类方式为坐标暗示法。

线性代数的向量用的就是「坐标暗示法」。仍以二维平面为例，偶然我们看到的向量是 (x_3,y_3) 形式的。怎样看起来像一个坐标点呢？它还是向量吗？

现在，请跟我一路移动一下向量 \overrightarrow{AB}， 将 A 点挪到原点 O 。

虽然位置分歧，可是此时 \overrightarrow{AB} 与 \overrightarrow{OC} 暗示的是同一个向量，由于它们的巨细和偏向完全不异。

所以，一个坐标点便可以暗示我们适才的向量，只不外暗示的是肇端点在原点的向量而已。

在我们常见的坐标空间中，「点和向量是逐一对应的」。我们可以经过加个箭头暗示向量 {\vec{x}}，也可以经过粗体的方式来暗示，比如 {\bf{x}}。

我们最熟悉的就是一维、二维、三维空间。宇宙究竟是几维的，我们尚无从得知。不外「丘成桐师长」提出的“卡拉比-丘”空间是六维的。

「“卡拉比-丘”」 空间看起来就像一个攥成团随手抛弃的纸团，可现实上空间中的迂回盘曲和翻转可比你那随手一攥，拧出来的外形复杂多了，它们就像一条条龙，盘旋、翻绕、也许再打个滚，揉个环，「丝毫没有一种法则可以用传统的欧几里德多少描写」。

我们经常用于处置的数据也是多维的，也许没法直观感受，可是我们可以从特征的角度来了解。比如要描述一小我的面庞，「包括额头的宽度、眉毛的长度、眉心的间距、鼻梁的高度、嘴唇的厚度等，这里每一项都是一个特征，对应的就是多维向量」。

2.若何暗示向量？

向量有「行向量」和「列向量」之分，简单一想，行向量就是元素按行排列

(x_{1}, \cdots, x_{n}) \\

由于“行”这个字的右半部分，就写了两条横线嘛。

列向量自然是元素依照一列排下来

\begin{pmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix} \\

由于“列”这个字的右半部分，写了两条竖线。

温馨小提醒：在各类教科书里，所触及到的向量凡是采用列向量的形式，而在python等编程时，经常默许的是行向量。

举个例子：我们来看看这个表格，它暗示的是「分歧品牌的电脑在分歧地域的销售量」，对应的有「品牌」和「地域」两个「双身分」。

那末列身分和行身分别离是什么呢？

对于「列身分而言」，就是在竖直偏向上，某一地域的分歧品牌的销售量。

「行身分」就是水平偏向上，某一品牌在分歧地域的销售量。

3.特别的向量

零向量

最多见的特别向量莫过于「零向量」啦，它代表了每一个元素都是0，以下是一个 n 维的零向量：

{\bf{0}}_n = (0,0,…,0)^T \\

此处上标 T 暗示转置，也就是行列位置交换，此处用以暗示列偏向的零向量。

❝ 那末「零向量」是有偏向的还是无偏向的呢？
❞

向量是矢量，一定是有偏向的，所以「零向量有偏向的」，可是它的偏向是不肯定的。如同我们所拉行李箱的阿谁万向轮，360度，各个偏向都都属于它。

在计较机中，零向量都是默许以行向量的形式，举个例子。

在Python中输入：

由于python说话里是从0起头记数的，假如要把其中的第2位改成1，就需要输入：

单元向量

「单元向量」代表模即是1的向量。

向量的模用以暗示向量的巨细，假如向量

{\bf{x}} = (x_1, x_2, \cdots, x_n)^T \\

它的模界说为

|{\bf{x}}| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2+\cdots + x_n^2} \\

即向量的各元素平方和的平方根。以后，我们会发现，也实在就是一种范数界说。

对于一个非零向量 {\bf{x}}，要想获得一个单元向量，只需要除以它的模即可，

\dfrac{\bf{x}}{|{\bf{x}}|} \\

出格地，「标准单元向量」是指，向量中只要一个元素为 1，其他元素都是 0。比如

(0, 0, \cdots, 1, \cdots, 0)^T \\

举个二维的例子，两个坐标轴的偏向，别离可以用标准单元向量暗示，

{\bf{e}}_1 = (1, 0)^T \\{\bf{e}}_2 = (0, 1)^T \\

这里 {\bf{e}}_1 和 {\bf{e}}_2 可以决议坐标系，是这个二维空间的一组「标准正交基」。

全 1 向量

「全 1 向量」代表一切元素都是 1 的向量。

稀疏与浓密

「稀疏向量」代表是大多元素为 0 的情况。比如之前先容的标准单元向量就是稀疏的。由于它只要一个元素是非 0的。

生活中，稀疏的场景也是很是多的，比如现现在统计的新冠致死率，一个病人的灭亡能够是多方面缘由致使的，假如首要缘由是新冠，才会归入统计人数中。灭亡的首要缘由只要少数几个，那末就是一个稀疏的情况。

再比如，电商销售的每一个产物，所对应的数据量特征也是很是多的，比如说是色彩、格式、价格、评价等等，可是我们必定是要找到影响成交量的最首要特征。否则只会形成大量的累计误差。

❝ 稀疏性告诉我们：需要时需要捉住少数的首要冲突，疏忽大都的主要冲突。
❞

与之相反，还有浓密性。

❝

今莽草蜀道、襄、汉、浙江湖间山中有，枝叶浓密，团欒心爱。——《梦溪笔谈\cdot 药议》
❞

在《梦溪笔谈》中，第一次出现浓密一词，指量多且密度大。

「浓密向量」也是类似的寄义，指大都元素是非零的。比如我们之前我提到的全1向量。

举个例子，比若有癌症患者需要化疗，化疗使得患者体内细胞中的份子发生变化，而且每个份子城市发生一个细小的变化，倘使我们用向量把每个份子的变化记录下来，那末这个向量中每个元素都是非零的，即使气力很微小，可是会聚起来，就能起到治疗的感化。

❝ 浓密性告诉我们：团结就是气力！
❞

叁 向量的利用

向量的利用多种多样，以以下几个方面为例。

1. 位置与位移

对于向量和位移，相信大师并不陌生，在我们的数学中就经常见到：

2. 图片色彩

我们以「色彩」举个例子，在计较机中常用16进制来暗示某一个色彩，16进制写为：「0123456789ABCDEF」依次代表了「0~15」，比如：FF0000，这里我们把这六位按两位拆开，别离对应的是:

FF~~00~~00 \\

然后呢，利用16进制来计较。

FF=16^1\times15+16^0\times15=255 \\

而 00 就代表了：

00=16^1\times0+16^0\times0=0 \\

那这个数可以写成：「255,0,0」 正是用向量描写了色彩。

3. 投资组合

在投资组合方面，我们假定有 i 种投资形式 i=1,2,\cdots,N。

它的收益率可以写成 (x_{1},x_{2},\cdots,x_{N})^T。

同理，对应的几率可以写成 (y_{1},y_{2},\cdots,y_{N})^T。

那末求总的收益不就是计较期望那末简单？

E=\sum_{i=1}^N x_i^T y_i \\

4. 药方与菜谱

同理，凡是能用到这类组合的场景，都可以用到向量来轻松处理。

比如药方和菜谱的配比，也可以是别离将药大概菜谱的特征分为两类，来代入计较总得结果。

5. 时候序列

在时候序列上，假如我们想晓得某一特征延续时长的感化，那末也可以操纵到向量的内积，来计较平分歧特征和其所对应时长下的整体影响。

6. 文天职析

在文天职析上，最熟悉的某过于词云的天生。文本中统计关键词的词频，就是以向量的形式显现。

看完这些例子，相信大师就能举一反三了，用向量可以代表我们生活中各类场景下的数据特征。

好啦，这期的开篇就到这里，下期我们继续说说向量的「外积、范数和间隔等」。感爱好的小伙伴记得「点赞+关注+在看」，感谢你的支持哦~