关于指数增长的分析

什么是指数增加

指数增加这个词应当大师都不会陌生，出格是在客岁一路头疫情爆发期间我们可以在消息报道中会经常听到这个辞汇。

关于指数增加，我们首先可以检察百度百科，看到有两个对应的词条：指数增加 和 指数式增加。一个是从货币投资的角度来举例诠释，另一个是从数学角度来暗示。 篇幅都不大，而且看上去除了名字似乎没什么关联，但其中隐藏的关键信息是亲近相关的。

首先，我们看关于 指数增加 的百科诠释 ，它获得了一个很是关键的概念，就是 复利， 这个是银里手获得收益的一个利器。 依照里面的方式，我们总结出以下公式 来计较 生齿增加 大概 收益。

a_{n} = a_0 (1 + rate)^{n}

其中 a_n 代表 n 年以后的生齿，大概总的本金加收益， a_0 暗示起头第1年时辰 的生齿大概本金， 其中rate为增加率。 这个就是指数增加的一般表达式。

我们现在返过来看 百科上另一个相关的词条——指数式增加， 这这里面没有放数学公式，但在右侧放了一张图。 这张图的表达式实在就是

y=a^x

这个就是指数函数的原本面孔，我们可以在百度百科上看到看具体的先容。其中两者形式上没有太大的不同， 只不外一个来暗示 离散型的增加， 一个暗示持续型的增加（离散型数据我们前面可以用散点图画面，持续型数据我们用曲线来暗示）。 这里面有个最为特别的就是

y=e^x

它们之前实在可以停止相互转换

a^x = e^x\ln{a}

我们利用 绘图神器—— GeoGebra 将它们画出来可以发现， 它们的外形根基上都是一样的（都是曲线，而且从左往右偏向是从 0 到 正无穷增加的）。

大概我们在x 的前面加上一个负数，因而就有

这个时辰我们就获得一组，外形来本来完全一样，但曲线的走势恰好相反的曲线了（从正无穷到0）。

自然数是什么来的？

在前面讲这些曲线的现实意义之前，我们先来处理一个困惑，就是前面表达式中阿谁 e 是怎样来的？

关于 e 的起源， 还是得回到投资中的复利题目中上来。我们拿一个例子来说明，假定我现在是出款方，你现在从我这里借10000块钱曩昔，按一年12%的利息来算。一年以后，你要还给我 10000 * （1 +12%） = 11200 元。 固然，也可以从投资角度 来了解 成， 我拿出10000 进来投资，一年后收到投资收益1200元，年化收益12%。 从出钱人的角度来说，必定是希望这一年的收益越来越高对不，而且一年后才收完款，这个风险还有的。我们现在供给另一种方式，我们希望半年结算一次，我们把 利率 除以2，一年计2次， 看一年以后的成果会怎样。这个时辰 收益就是

10000 * (1 + \frac{12\%}{2})^2 = 11236

这个时辰我们惊奇的发现，比本来多收了36块钱，看来复利是个好工具。那末自但是然就想到， 假如我把结算的周期缩得更短会怎样样，比如说你一个月还一次钱。那末这个时辰就有

10000 * (1 + \frac{12%}{12})^{12} = 11268.25

我们会发现收益会更多一些。因而我有了一个邪恶的想法，假如我继续不竭收缩结算周期，我的收益会不会一向涨上去。 还是说它会有个上限？直觉来说， 随着周期收缩， 它的收益还会再涨， 但它会有一个极限。 我们生活中已经出现了这类例子了，我们从借呗上告贷的话，它就是按天来计的。假如条件答应的话，也可以极致的按分按秒来计复利，利滚利。这个对于投资方（被告贷方）来说是个好事， 可是对于被投资方（告贷方）来说压力就很大的。

我们还是可以用GeoGebra 来算一下。 我们发现，当我们把这个 n 不段向右滑动时，最初的成果一向都不会跨越11275元。 也就是它现实上是存在一个上限的。 这个上限就引出了 自然数e。

依照 极限的界说，自然数 e 就是

e = \lim_{n \rightarrow \infty} (1 + \frac{1}{n})^n \APProx 2.7183

这里我们还是要感激这个 e 给复利的增加设了一个上限， 否则对于一般人来说，还贷的压力只会更大。

操纵指数增加纪律停止业绩猜测

接下来，我们来说一个指数曲线利用的例子。 我们可以在网上轻易搜到某宝历年双十一数据，并观察它的图像。从图中可以看出， 它的增加很像一条指数曲线，那末我们能否是可以操纵这条指数曲线来猜测下一年的销售情况。答案是必定的，而且我们并不是由于看着它像就间接利用。

我们先看一下若何来用一条曲线来猜测，首先说明一下， 现实利用的时辰并纷歧定真的会用指数曲线来模拟。这里我们可以利用泰勒展开的方式，将指数函数展开成一个多方式来进交运算（说真话，级数就是干这个来用的，计较机严酷意义来上说，只会算加法，你还真期望它给你求幂函数吗？）。

这个时辰便可以利用matlab，大概python里的numpy中的polyfit() 函数来完成这项操纵（我更偏向于numpy，开源又免用度起来不香吗？）。

完整代码我就放鄙人面了

下面这张图反应的是曩昔10年的增加趋向。看上去就很像一条指数曲线。

经过前面的数据猜测2022年的数据以下：

我们可以看到， 2739.39和2684隔的还比力近， 到底有多近呢？用下面这个目标来权衡

\frac{2739-2684}{2684} \approx 2.05\%

可以看赴任别是比力小的，实在成果合适预期。因而我们如法炮制，猜测一下2022的数据，获得的成果是3341亿， 这个这现实中还是有比力大的差别的。

2022年的成果已经发生了，而且与我们的猜测有比力大的差别，有异常不成怕，这真是我们要分析的地方。形成这类差别的缘由也不难了解。2022年是个多难之年，大师齐心协力在家抗疫，上半年一向压制着没有去消耗，可以了解成下半年疫情稳定后购物需求爆发了。然后再就是2022年的时辰全部双11玩法也和之前有较大分歧了（由于我比力穷，几近都不介入 这个活动，相关细节就不说太多了，有爱好的自己去查）。各种身分城市形成数据的上涨，出现这样的情况也不难了解。

从差分方程角度来看

这里面有个比力重要的题目，就是为什么可以用指数曲线来拟合它？

我们可以在上面法式的根本上，加上以下代码

可以看到以下图形，第一个图形代码的是每两年之间的增加值，可以看到， 它是类似一个线性增加的进程。

第二张图首要看后半段，后半段算出来的每个相对于前面的增加率大要都在20%左右。 这是一个很是重要的信息了。由于它很有能够代表的就是公司内部的业绩目标。在初始范围不大的时辰，90%，70%都是比力一般的， 前面根基上都稳定在20%左右， 这个数据应当不太陌生吧，很多公司在年末总结的时辰都提出我们要业绩增加要到达百分之几多，超越是有嘉奖的，没到达则要被罚。可以说，只要有这类肯定的增加率存在，那末它的增加曲线一定会接近于一条指数曲线。而我们猜测下一年的数据也可以用一个更直观的方式，就是今年的销售额间接乘以1.2，也可以获得一个大致的成果。

指数增加的道理

我们现在回到关于增加的题目上来。 几近一切的增加题目，一路头会基于这样一个假定，我后一轮增加获得的总数是跟我前一轮的总数是相关的。浅显来说，假如各个国家的诞生率都是一样的话，生齿总数最多的阿谁国家生齿增量必定是最大的。 大概对于投资来说， 收益率都一定的情况下，基金范围更大的基金，其获得的回报增量也更大。

我们以典范的种群增加题目为例。 假定当前时候数群数目为P(t) ， 那末对其求导有

\frac{dP}{dt}

这个现实上就是增加的速度，当前增速与当前种群数据成反比，因而有

\frac{dP}{dt} = k P \\ \frac{dP}{P} = kdt \\ 对双方积分有 \ \ \ \ \ \ \ ln|P| = kt + c_0 \\ 其中P > 0，因而 \ \ lnP = kt + c_0 \\ 终极有\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ P = e^{kt + c_0} = P_0 e^{kt}

其中的增加率对应于k， 可以看出， 增加率牢固的情况下， 终极推出的增加曲线就是一条指数曲线。

假如k 为负值，对应的就是指数衰减，在考古判定的时辰就会用到它。 有爱好的可以自行百度一下。

窘境：饱和 与 合作

我们可以再回头来观察一下这个增加曲线，从左到右来看，左侧是0， 右侧到正无穷，而且越靠右侧增速越快。 但我们在现实生活中应当很少会碰到这样的增加情况，假如一个公司的业绩真的能这样增加，估量老板们都得乐开花，也不用频频给你夸大996是福报 ，大师也不会卷的这么利害了是不。

指数增加只要在资本充足充沛的情况下才能到达。 很多情况下，资本是有限的，而且争取有限资本的进程中，常常存在合作的情况。合作是由于资本有限致使的，而且合作会引发增加放缓。而增加到了一定水平后，又会出现饱和的情况。本来的指数增加曲线必定不合适这一现象。那末这类情况又怎样来描写呢？

现实上可本来的指数增加模子停止一定水平的点窜

\frac{dP}{dt} = aP - bP^2

我们在本来的方程的右侧引入了

-bP^2

这一项，其中P上面的2 代表合作是存在 于 对峙的双方之间的， 究竟我自己不太能够和我自己合作。 然后前面的负号暗示，由于合作的存在会致使增加放缓。而且放缓的速度与种群数目平方成反比，种群数目少的时辰，放缓不明显， 种群数目大，合作剧烈，增加趋向会严重放缓。

接下来，就是求解这个微分方程，由于右侧出现了2次， 是以它的求解进程会麻烦很多。

\begin{align} \frac{dP}{dt} &= aP - bP^2， P(t_0) = P_0 \\ \int_{P_0}^P \frac{dr}{ar-br^2} &= \int_{t_0}^t ds = t - t_0 \\ \frac{1}{ar-br^2} &\equiv \frac{1}{r(a-br)} = \frac{A}{r} + \frac{B}{a-br} \\ \frac{A}{r} + \frac{B}{a-br} &= \frac{A(a-br) + Br}{r(a-br)} = \frac{Aa + (B-bA)r}{r(a-br)}\\ \\ 其中\ \ \ \ Aa + (B-bA) r &= 1， 我们令 Aa=1， B-bA = 0 ，则有A= 1/a, B = b/a \\ \int_{P_0}^P \frac{dr}{r(a-br)} &= \frac{1}{a} \int_{P_0}^{P} (\frac{1}{r} + \frac{b}{a-br})dr \\ &=\frac{1}{a} [ln\frac{P}{P_0} + ln|\frac{a-bP_0}{a-bP}|] = \frac{1}{a}ln\frac{P}{P_0}|\frac{a-bP_0}{a-bP}| \\ \\ 是以\ \ a(t-t_0) &= ln\frac{P}{P_0}|\frac{a-bP_0}{a-bP}| \\ 由于 \frac{a-bP_0)}{a-bP} &永久大于0 \\ a(t-t_0) &= ln\frac{P}{P_0}\frac{a-bP_0}{a-bP} \\ e^{a(t-t_0)} &= \frac{P}{P_0} \frac{a-bP_0}{a-bP} \\ \\ P_0 (a-bP)e^{t-t_0} & = (a-bP_0)P \\ [a- bP_0 + bP_0 e^{a(t-t_0)}] P(t) &= aP_0e^{a(t-t_0)} \\ \\ 终极有 \ \ \ \ P(t) &= \frac{aP_0e^{a(t-t_0)}}{a - bP_0 + bP_0 e ^{a(t-t_0)}} = \frac{aP_0}{bP_0 + (a-bP_0)e^{-a(t-t_0)}} \end{align}

经过一系列复杂的推导进程中，我们终极获得了它的完整表达式。其中的 aP_0,\ \ \ \ bP_0 ,\ \ \ \ a-bP_0

都是可以以为是肯定的参数，这里我们可以设想一个很是极真个例子，把这个图像用GeoGebra 画出来看一下，我们令它们都为1，而且令 t_0 = 0

则会获得这样的图像

可以看到这是一条 S形的曲线， 我们可以调剂分母，份子看下以后的情况。

多试几次，我们会发现

• 曲线从由本来的单调增速式增加，酿成了增速先加速后放缓，并终极到达饱和的状态
• 饱和状态的值，由 \frac{aP_0}{bP_0} = \frac{a}{b} 决议
• 改变参数只是对曲线停止了平移大概拉伸，整体趋向不会有太大变化。

脱困：从"飞龙在天" 到 "群龙无首"

而利用这个曲线，我们便可以很好的诠释，在有限资本的情况下， 由于合作形成了增速放缓并终极到达饱和的现象。是以我们在很多场所城市见到这条曲线。例如，某个市场由蓝海酿成红海的进程，一小我的人生成长轨迹等等。很多人在到达一定年数后，由于精神有限，再加上合作压力，很轻易进入一个瓶颈期，因而中年危机就到来了。

我们必定不希望中年危机提早到来，企业家和股东们也必定不会愿定见到饱和的场面。那末有没有什么处理计划呢？

完善的处理方式是没有的，由于资本有限，终极的终局也是必定的，但我们还是可以想法子做点什么？

我们来看下这节的题目，能够有很多人会懵逼，飞龙在天，似乎是金庸武侠小说里 降龙十八掌的一招，难道要用降龙十八来化解。 非也，非也， 这里援用的现实上是它最初的出处——《周易》中的乾卦。

乾卦是《周易》的首卦，也是被解读最多，最特别的一卦。 乾卦代表发奋图强， 讲的是一个事物 从发生到繁华的进程。 它是六爻全为阳爻。 从下到上依次的爻辞依次是：

• 初九，潜龙勿用
• 九二，见龙在田，利见大人
• 九三，君子整天乾乾，夕惕若，厉，无咎
• 九四，或跃在渊，无咎
• 九五，飞龙在天，利见大人
• 上九，亢龙有悔
  六十四卦中，除了乾卦而坤卦外，都只要六爻。 而乾卦和坤卦各多出一爻。乾卦多出的一爻为
• 用九， 见群龙无首，吉
  

从乾卦的全部卦相上来看，它的前五个阶段一向是处于上升阶段的，从最初的潜龙韬光养晦积储气力，到见龙在田起头展露头角，再到整天乾乾，埋头苦干，再到或跃在渊，到达一个新的境界，再到飞龙在天的顶峰状态。可以说， 这里的飞龙在天，指的就是大师一向追求的境界。恰好合适一小我前期的成长到繁华的进程，但以后顿时会进入亢龙有悔的状态。为什么会有悔，由于盈不成久也，你没有法子一向延续地连结延续顶峰的状态。

而冲破亢龙在悔的窘境的方式就藏在用九这一爻里。群龙无首，现在了解为很多人聚在一路而没有领头的人，没法同一行动。 但我们看卦象却一定是这个意义，我们可以拆开来诠释，一个关键词是群龙，另一个是无首。也可以了解为由于这一群都是龙，也没需要争个首出来。 用九的象辞里诠释的是，用九，天德不成为首也。 大意是， 天道循环不已，物极而反， 阳极变阴，刚去柔来，则能以柔济刚，用九而不为九所用，不自居万物之首。

这里面隐藏的关键点就是尊重物极而反的法则，而且当令改变自己，使本身处于天道的循环中。 正所谓——穷则变，变则通，公例久（一样是来历于周易）。所以处理窘境的关键在于在进修变通，而且可以实时变通。在一个市场过了最快增速点的时辰，做好前面变通的预备。

对于小我来说，在一个情况中的稳定状态纷歧定是件好工作，由于你没法预感到前面情况能否会发生变化（现在的社会是大要率会的，而且会变得很是急）。而应对这类趋向的处理方式就是不竭进修，不竭提升自我，使自己随时可以切换到一个新的上升情况中， 苟日新日日新又日新说的也是这个事理 。

对于市场来说也是一样的事理，出格是很多行业资本高度集合和本钱的加持下， 一片蓝海很快就会酿成红海。假如想要继续增加，在蓝海完全酿成红海之前，一定要想方想法找到新的蓝海才能获得持久的增加。